Teorema de Fuchs

En las matemáticas el teorema de Fuchs expresa la propiedad de ciertas ecuaciones diferenciales de segundo orden, en cuanto a poseer una solución expresada mediante una serie de potencias. Desarrollado por Lazarus Fuchs

Teorema

En las matemáticas, el teorema de Fuch, establece la existencia de soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden del tipo:

${\displaystyle y'' p(x)y' q(x)y=g(x)}$

donde ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ y ${\displaystyle g(x)}$ poseen expansión en series de potencias en ${\displaystyle x=a}$.

En este caso existe entonces una solución a esta ecuación diferencial de segundo orden que puede ser expresada mediante una serie de potencias en ${\displaystyle a}$. Por lo tanto toda solución se puede escribir como

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n \lambda },\quad a_{0}\neq 0}$

para algún ${\displaystyle \lambda }$ real, donde su radio de convergencia es por lo menos mayor que el menor radio de convergencia de ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ y ${\displaystyle g(x)}$.

Referencias

• Asmar, Nakhlé H., "Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems", ISBN 0-13-148096-0